Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Lý thuyết & bài tập Update 09/2021

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ điểm qua 3 dạng đồ thị cơ bản nhất gồm: Hàm số bậc 3, hàm phân thức, hàm trùng phương. Mỗi dạng đồ thị sẽ đều có ví dụ và bài tập tự luyện cơ bản.

Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

#1.Tập xác định: D = ℝ

Tính y’ và cho y’ = 0 ⇒ các nghiệm (nếu có)

Tính các giới hạn:

#2. Lập bảng biến thiên

  • Nếu y’ = 0 có hai nghiệm thì dấu của y’ là: “trong trái ngoài cùng”
  • Nếu y’ = 0 có nghiệm kép thì dấu của y’ là: “luôn cùng dấu với a” ngoại trừ tại nghiệm kép.
  • Nếu y’ = 0 vô nghiệm thì dấu của y’ là: “luôn cùng dấu với a”

#3. Kết luận

Tính chất đơn điệu của hàm số.

Cực trị hàm số

Chọn vài điểm đặc biệt vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị có 6 dạng như sau:

Khảo sát sự biến thiên hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Khảo sát sự biến thiên hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 3x + 1.

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ; y’ = 3x2 − 3

y’ = 0 ⇔

Từ bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y = 3, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y = -1.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-2; -1), (-1; 3), (0; 1), (1; -1), (2; 3)

Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c

Tập xác định: D = ℝ

Tính y’ và cho y’ = 0 (có 3 có nghiệm hoặc có 1 nghiệm và luôn có 1 nghiệm x = 0).

Tính giới hạn:

Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y’ luôn cùng dấu với a”.

Kết luận:

Tính chất đơn điệu.

Cực trị hàm số.

Giới hạn của hàm số.

Vẽ đồ thị: Chọn vài điểm đặc biệt vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có 4 dạng sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ

y’ = x3 − x;

y’ = 0 ⇔

Từ bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y =

, đạt cực tiểu tại x = ±1 và yCT = -1.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm

Dạng 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định:

Tính

(y’ hoặc dương hoặc âm ∀ x ∈ D)

Đường tiệm cận:

Tiệm cận đứng:

Tiệm cận ngang:

Lập bảng biến thiên: Khi x → ±∞, thì

Kết luận:

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng.

Vẽ đồ thị: Lấy thêm vài điểm đặc biệt.

Đồ thị có 2 dạng sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ {-1}

, ∀ x ∈ D.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞) và không có cực trị.

Đồ thị: Đồ thị hàm số qua các điểm (0; -1),

và nhận I(-1; 2) làm tâm đối xứng.

Tài liệu về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Tài liệu xoay quanh 4 dạng toán cơ bản sau đây:

  • Dạng 1: Đồ thị của hàm số
  • Dạng 2: Bảng biến thiên
  • Dạng 3: Phép suy của đồ thị
  • Dạng 4: Tính chất của đồ thị hàm số