Đường tiệm cận của hàm số: Lý thuyết & bài tập (Có tài liệu) Update 09/2021

Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi.

Lý thuyết đường tiệm cận

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

hoặc

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Các dạng bài tập về đường tiệm cận của hàm số

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

Tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

hoặc

Tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Bài tập

Bài tập 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A 2 (đvdt)

B 3 (đvdt)

C 1 (đvdt)

D 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định D = ℝ {1}

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S = 1․2 = 2 (đvdt)

Bài tập 2: Biết các đường tiệm cận của đường cong (C):

và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

B (H) là một hình vuông có diện tích bằng 4

C (H) là một hình vuông có diện tích bằng 25

D (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định

Ta có

⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của (C)

⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của (C)

⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của (C)

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích thước 2 × 5 nên có diện tích bằng 10.

Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức

Cho hàm số:

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

+ Tiệm cận đứng

+ Tiệm cận ngang

Bài tập

Bài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

có đường tiệm cận ngang y = 3 là

A m = 1

B m = 0

C m = 2

D m = 3

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

-m(2m – 1) – 1 ≠ 0 ⇔ 2m2 – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝ

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m – 1 nên có 2m – 1 = 3 ⇔ m = 2

Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng là

A ℝ

B ℝ {0}

C ℝ {1}

D ℝ {0; 1}

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

không có tiệm cận đứng là

A ℝ

B

C

D {0}

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

Bài tập 4: Cho hàm số

. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng

A 1

B 0

C 3

D 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; -1) nên b = -1

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy a + b = 0

Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số

nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng

A 3

B -3

C 6

D 0

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -(a – 3)(b + 3) – (a + 2019) ≠ 0

Phương trình các đường tiệm cận là

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy a + b = 0

Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

đi qua điểm A(1; 2) là

A m = 4

B m = -2

C m = -4

D m = 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Đường tiệm cận đứng là

(thỏa mãn)

Bài tập 7: Cho hàm số

với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A x + 2y = 0

B 2x + y = 0

C x – 2y = 0

D y = 2x

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là -2m2 – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝ

Phương trình các đường tiệm cận là x = 2x; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y

Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là

A m > 0 và

B m > 0

C m > 0 và

D m < 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -4m + 5 ≠ 0 ⇔

Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m

Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0

Vậy điều kiện cần tìm là

Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp giải

Tiệm cận của đồ thị hàm số

với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n > 0

Đồ thị hàm số

luôn có tiệm cận ngang y = 0

Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f(x) hay f(x0) = 0

Tiệm cận của đồ thị hàm số

với f(x), g(x) là các đa thức bậc khác 0

Điều kiện để đồ thị hàm số

có tiệm cận ngang là bậc f(x) ≤ bậc g(x)

Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x), đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m < n

Bài tập

Bài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng là

A m = 8

B m = 0

C m ≠ 4

D m ≠ -8

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định

Đặt g(x) = mx2 – 2x + 1

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì

không là nghiệm của g(x)

Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số

(m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng, giá trị của m + n bằng

A 6

B 10

C -4

D -7

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện: x2 – 2mx + n + 6 ≠ 0

Đặt g(x) = x2 – 2mx + n + 6

Do x = 1 là nghiệm của f(x) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình

Vậy m + n = -4

Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n bằng

A 8

B 9

C 6

D -6

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện x2 + mx + n – 6 ≠ 0

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m – n ⇒ 2m – n = 0 (1)

Đặt f(x) = (2m – n) x2 + mx +1 và g(x) = x2 + mx + n – 6

Nhận thấy f (0) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g(0) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6 . Kết hợp với (1) suy ra m = 3.

Vậy m + n = 9

Bài tập 4: Cho hàm số

có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab = 4). Biết rằng (C) có tiệm cận ngang y = c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng T = 3a + b – 24c bằng

A 8

B 9

C 6

D 11

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện 4x2 + bx + 9 ≠ 0

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình 4x2 + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x0 và không là nghiệm của ax2 + bx + 1 = 0

⇔ b2 – 144 = 0 ⇔ b = ±12

Vì b > 0 nên b = 12

Thử lại ta có hàm số

(thỏa mãn)

Vậy

Trường hợp 2: 4x2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn ax2 + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4.

Chú ý: a, b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.

Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Cho hàm số vô tỷ y = f(x)

Tìm tập xác định D của hàm số.

Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn

hoặc hữu hạn.

Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số

có tiệm cận ngang y = -1. Giá trị 2a + b3 bằng

A 56

B -56

C -72

D 72

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0

Khi đó, ta có

Vậy 2a + b3 = -56

Chú ý: Để

thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó

Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

có một đường tiệm cận ngang là y = 2?

A 0

B Vô số

C 1

D 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định

Ta có

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2

Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)

Phương pháp giải

Xác định tiệm cận đứng:

Số tiệm cận của đồ thị hàm số

là số nghiệm của phương trình g(x) = 0

Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x) để xác định số nghiệm của phương trình g(x) để suy ra số đường tiệm cận đứng.

Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận của hàm số

A 2

B 3

C 1

D 4

Hướng dẫn giải

Chọn D

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 ⇔ f(x) = -1

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số

có hai đường tiệm cận đứng.

Ta có

nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là

Vậy đồ thị hàm số

có bốn đường tiệm cận.

Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A 2

B 4

C 3

D 1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t = x3 + x , ta có khi x → -∞ thì t → -∞ và khi x → +∞ thì t → +∞

Mặt khác ta có t’ = 3x2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x3 + x = t có duy nhất một nghiệm x.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình

f(t) + 3 = 0 ⇔ f(t) = -3

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng.

Ta có

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận.

Bài tập 3. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ)có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A 2

B 3

C 4

D 5

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt t = 4 – x2, ta có khi x → ±∞ thì t → -∞

Khi đó

nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).

Mặt khác f (4 – x2) – 3 = 0 ⇔ f (4 – x2) = 3 ⇔

⇒ Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.

Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)

Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) tìm nghiệm của phương trình g(x) = 0 và xác định biểu thức g(x)

Rút gọn biểu thức

và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.

Chú ý:

Điều kiện tồn tại của φ(x)

Sử dụng tính chất nếu đa thức g(x) có nghiệm là x = x0 thì g(x) = (x – x0)․g1(x), ở đó g1(x) là một đa thức.

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 4

B 6

C 3

D 5

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện xác định

Xét phương trình

Dựa vào đồ thị ta thấy

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = x1 < 1 (loại) và x = 2 (nghiệm kép)

Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = x2 ∈ (1; 2), x = x3 > 2.

Khi đó

f2(x) – f(x) = f(x) [f(x) – 1 ] = a2(x – x1)(x – 2)2(x – 1)(x – x2)(x – x3)

Suy ra

Trong đó x1 < 1, x2 ∈ (1; 2), x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g(x) có ba tiệm cận đứng là x = 2; x = x2; x = x3

Bài tập 2. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt

. Đồ thị hàm số y = g(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 4

B 2

C 5

D 3

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện xác định

Ta có

Dựa vào đồ thị ta có f(x) = 0 có hai nghiệm x = x1 < 0 và x = 1 (nghiệm kép).

Vậy biểu thức f2(x) – 2f(x) = f(x) [f(x) – 2] = a2(x – x1)(x – 1)2x(x – x2)(x – x3)

Khi đó ta có

Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng.

Bài tập 3. Cho f(x) là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 3

B 2

C 4

D 1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện

Ta có (x – 3)(x2 – 4x + 3) = (x – 3)2(x – 1); f’(x)․[f(x) – 2] = 0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

f’(x) = 0 có nghiệm là x = 1; x = 2 (nghiệm kép); x = 3 (nghiệm kép)

⇒ f’(x) = a(x – 1)(x – 2)2(x – 3 )2 với a > 0

f(x) = 2 có hai nghiệm

nên f(x) = (x – x1)(x – x2)․p(x) với p(x) là một đa thức bậc 4 và p(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ

Khi đó

Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5.

Bài tập 4. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3f(1) – 2 < 0 và 3f(a) – a3 + 3a > 0, ∀ a > 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A 0

B 2

C 1

D 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt h(x) = 3 f(x + 2) – x3 + 3x. Điều kiện h(x) ≠ 0

Ta có h’(x) = 3 f’(x + 2) –3x2 + 3

h’(x) = 0 ⇔ f’(x + 2) = x2 – 1

Đặt t = x + 2 , ta được f’(t) = t2 -4t + 3 (*)

Vẽ đồ thị hàm số y = t2 -4t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f’(t) ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t = 1; t = 3; t = a > 4

Suy ra phương trình h’(x) = 0 có nghiệm đơn x=x-1; x= 1; x = a – 2 = b > 2

Ta có bảng biến thiên của h(x) như sau

Vì h (-1) = 3 f(1) – 2 < 0

Và h (b) = 3 f(a) – (a – 2)2 + (a – 2)3 + 3(a – 2) = 3 f(a) – a3 + 6a2 – 12a + 2 > 0

với mọi a > 4 nên phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 < -1; x = x2 ∈ (-1;1)

Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có hai tiệm cận đứng.

Dạng 7: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức , với f(x) và g(x) là các đa thức

Phương pháp giải

Điều kiện đề đồ thị hàm số

có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f(x) ≤ bậc g(x). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.

Điều kiện để đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng x = x0

Trường hợp 1: x = x0 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Trường hợp 2: x = x0 là nghiệm bội n của phương trình g(x) = 0, đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f(x) = 0 thì n > m.

Ta có f(x) = (x – x0)m․f1(x) với f1(x) không có nghiệm x = x0 và g(x) = (x – x0)n․g1(x) với g1(x) không có nghiệm x = x0. Khi đó

Nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập

Bài tập 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số

có ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng

A 6

B 19

C 3

D 15

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện x2 + 2x + m2 – 3m ≠ 0

Ta có

đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0

Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 nên để đồ thị hàm số

có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2}.

Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3.

Bài tập 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có đúng hai đường tiệm cận là

A -5

B 4

C -1

D 5

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện x ≠ 1; x ≠ 2

nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi m

Ta có x2 – 3x + 2 ⇔

Xét f(x) = x2 + m. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f(x) phải nhận x = 1 hoặc x = 2 là nghiệm hay

Với m = -1, ta có hàm số

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2; y = 1 (thỏa mãn).

Với m = -4, ta có hàm số

nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1; y = 1 (thỏa mãn).

Vậy S = {-1; -4} nên tổng các giá trị m bằng -5.

Bài tập 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

không có đường tiệm cận đứng

A -12

B 12

C 15

D -15

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện x2 – mx – m + 5 ≠ 0

Đặt f(x) = x2 – 3x + 2, g(x) = x2 – mx – m + 5

Ta có f(x) = 0 ⇔

là nghiệm đơn của tử thức.

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Phương trình g(x) = 0 vô nghiệm ∆ = m2 +4m – 20 < 0 ⇔

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {-6; -5; …; 2}

Trường hợp 2. f(x) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệm

Thử lại, ta có

, khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại.

Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ {-6; -5; …; 2; 3} nên tổng bằng -15.

Bài tập 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có đúng một đường tiệm cận là

A {-1; 0}

B {0}

C (-∞; -1) ∪ {0}

D (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện

Với m = 0, hàm số có dạng

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0

Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm.

Với m ≠ 0

Ta có

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0

Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì

+ Trường hợp 1. Hai phương trình f(x) = mx2 – 2x + 1 = 0 và g(x) = 4x2 + 4mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm

⇒ vô nghiệm

+ Trường hợp 2. Phương trình (mx2 – 2x + 1)(4x2 + 4mx + 1) = 0 có nghiệm duy nhất là

. Khi đó là nghiệm của một trong hai phương trình f(x) = 0 hoặc g(x) = 0

Do m ≠ 0 nên m = -1.

Thử lại, với m = -1 thì hàm số là

Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là

không thỏa mãn.

Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ {0}

Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận.

Tiệm cận ngang

+ Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các khoảng (-∞; a) hoặc (b; +∞).

+ Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn

hoặc thì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong các giới hạn

hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập

Bài tập 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có đúng ba tiệm cận là

A

B m > 0

C

D ∀ m ∈ ℝ

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0

Khi đó tập xác định của hàm số là

Nếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 < 0

Ta có

nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là

Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì

Kết hợp lại ta có

Bài tập 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có đúng hai đường tiệm cận là

A m ∈ ℝ

B

C

D

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện

Tập xác định D = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) {1; -m – 2}

Ta có

, ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.

Với m = – 3 thì D  = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) {1}

Khi đó, ta có hàm số

Do đó

nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = -3 thỏa mãn.

Với m ≠ -3, ta có

⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Để đường x = -m – 2 là tiệm cận đứng thì

Khi đó

(tùy theo m) nên x = -m – 2 là tiệm cận đứng

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có tiệm cận ngang là

A m > 1

B 0 < m < 1

C m = 1

D m = -1

Hướng dẫn giải

Chọn C

Trường hợp 1. Với m = 0 thì hàm số là y = x + 1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 2. Với m < 0 thì hàm số có tập xác định là

nên không tồn tại ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang.

Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 3. Với m > 0 thì hàm số có tập xác định là D = ℝ

Xét

Xét

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Bài tập 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

có bốn đường tiệm cận phân biệt là

A (0; +∞)

B

C

D

{1}

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện mx2 – 3mx + 2 > 0 (*)

Trường hợp 1. Với m = 0 , ta có

nên đồ thị không có đường tiệm cận.

Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 2. Với m < 0.

Phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 có ∆ = 9m2 – 8m > 0, ∀ m < 0 nên mx2 – 3mx + 2 > 0 ⇔ x ∈ [x1; x2] (với x1, x2 là là hai nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng.

Nếu 0 thì hàm số có tập xác định là D =

Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm.

Trường hợp 3. Với m > 0.

Xét phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0

Nếu ∆ = 9m2 – 8m < 0 ⇔

. Hàm số xác định trên ℝ.

Khi đó mx2 – 3mx + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận ngang là

Nếu ∆ = 9m2 – 8m = 0 ⇔

.

Khi đó, hàm số trở thành

nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.

Nếu ∆ = 9m2 – 8m > 0 ⇔

.

Hàm số xác định trên các khoảng (-∞; x1) và (x2; +∞).

Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là

.

Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng.

Vì x = 1 là nghiệm của tử f(x) = x – 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 ⇔ m – 3m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Vậy giá trị của m cần tìm là

.

Nếu x = 1 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 do phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g(x) = 0 có một nghiệm nữa x = a 1 thì g(x) = m(x – 1)(x – a). Khi đó hàm số có dạng nên chỉ có một tiệm cận

Bài tập 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

có hai tiệm cận đứng?

A 1

B 2

C 4

D 3

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện

Đặt f(x) = x2 – (1 – m) x + 2m

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≥ -1

Trường hợp 1. f(x) có nghiệm x = -1 ⇔ f (-1) = 0 ⇔ m = -2

Khi đó hàm số có dạng

có tập xác định là D = (4; +∞) nên chỉ có một tiệm cận đứng.

Trường hợp 2. f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > -1 ⇔

Do m ∈ ℤ nên m = -1; m = 0

Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 1

B 2

C 3

D 4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện f(x) ≠ m

Để đồ thị hàm số

có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = m phải có nghiệm.

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là

với -1 < a < 1 < b

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

Suy ra phương trình y = f(x) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số

có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

Bài tập 2. Cho hàm số

với h(x) = mx4 + nx3 + px2 + qx (m, n, p, q ∈ ℝ, m ≠ 0), h (0) = 0. Hàm số y = h’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g(x) có hai tiệm cận đứng?

A 2

B 11

C 71

D 2019

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Từ đồ thị suy ra h’(x) = m(x + 1)(4x – 5)(x – 3) = m(4x3 – 13x2 – 2x + 15) và m < 0

Nên

do h (0) = 0

Đồ thị g(x) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h(x) = m2 + m có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt.

Đặt

Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau

Vì m < 0 nên

Vậy có 11 số nguyên m.

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f (-1) < 20

Đồ thị hàm số

(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi

A m < f (3)

B f (3) < m < f (-1)

C m > f (-1)

D  f (3) ≤ m ≤ f (-1)

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điều kiện f(x) ≠ m

Từ đồ thị hàm số f’(x), ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là

Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận.

Nếu m ≠ 20 thì

⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f (-1) < 20

Suy ra đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a ⇔ f (3) < m < f (-1)

Bài tập 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

A 2

B 0

C 1

D 3

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện

Do

nên khi x → +∞ thì 2f(x) – f2(x) → -∞ vì vậy không có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại .

Xét

.

nên ;

Từ đó

với m ≠ 1

Khi đó đồ thị hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = -1 thì

Vì m ∈ ℤ nên m = 0.

Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số

có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0

Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là

Phương trình đường tiệm cận ngang là

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm

và cũng là tâm đối xứng của đồ thị.

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các kích thước là

nên có chu vi là và diện tích là .

Bài tập

Bài tập 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

có đường tiệm cận đứng đi qua điểm

A m = -2

B m = 2

C

D m = -1

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có ad – bc = m2 + 2 ≠ 0, ∀ m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =

Để tiệm cận đứng đi qua điểm

thì = -1 ⇔ m = 2

Bài tập 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A 3 (đvdt)

B 6 (đvdt)

C 1 (đvdt)

D 2 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình các đường tiệm cận là x = 1; y = 2

Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1․2 = 2 (đvdt).

Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là

A m ≠ ±2

B m = 2

C

D m = ±4

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -2m – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0

Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2m

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = |2m|

Theo giả thiết thì |2m| = 8 ⇔ m = ±4

Bài tập 4. Cho đồ thị hai hàm số

với . Tất cả các giá trị thực dương của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là

A a = 6

B a = 4

C a = 3

D a = 1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đồ thị hàm số

có hai đường tiệm cận là x = -1 và y = 2

Điều kiện để đồ thị hàm số

có tiệm cận là 2a – 1 ≠ 0 ⇔

Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số g(x) có hai đường tiệm cận là x = -2 và y = a

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và |a – 2|.

Theo giả thiết, ta có |a – 2|․1 = 4 ⇔

Vì a > 0 nên a = 6.

Bài tập 5. Cho hàm số

có đồ thị (C). Hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tại I. Đường thẳng d: y = 2x + b (b là tham số thực) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b < 0 và diện tích tam giác AIB bằng . Giá trị của b bằng

A -1

B -3

C -2

D -4

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có tọa độ điểm I(1;1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*).

Khi đó A(x1; 2x1 + b), B(x2; 2x2 + b)

Ta có

Diện tích tam giác IAB là

Theo giả thiết thì

Do b < 0 nên b = -4

Chú ý:

Với tam giác ABC có

thì

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì

Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 và (x + 1)2 + y2 = 1. Biết đồ thị hàm số

đi qua tâm của (C1), đi qua tâm của (C2) và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả (C1) và (C2). Tổng a +b + c là

A 5

B 8

C 2

D -1

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đường tròn (C1) có tâm I1(1; 2); R1 = 1 và (C2) có tâm I2(-1; 0); R2 = 1

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac – b ≠ 0

Gọi (C) là đồ thị hàm số

Khi đó ta có các đường tiệm cận (C) là x = -c và y = a

Ta có I1, I2 ∈ (C)

Đường thẳng x = -c tiếp xúc với cả (C1) và (C2) nên

⇒ a = b = 1

Khi đó tiệm cận ngang của  (C) là y = 1 tiếp xúc cới cả (C1) và (C2) thỏa mãn bài toán.

Vậy a = b = 1; c = 0 ⇒ a +b + c = 2

Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số

có các đường tiệm cận là

Gọi

là điểm bất kì trên đồ thị

Khi đó

Vậy ta luôn có

là một số không đổi

Khi đó

nên khi d1 = d2

Ví dụ: Xét hàm số

có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là

Bài tập

Bài tập 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị

với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng

A 4

B 2

C 8

D 6

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Áp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số

(C). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

A 10

B 6

C 2

D 5

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Áp dụng công thức, ta có

Khi đó

Vậy dmin = 2

Bài tập 3. Cho hàm số

có đồ thị (C). Điểm M có hoành độ dương, nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằng

A 5

B

C

D 4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Giả sử

(x0 > 0; x0 ≠ 3)

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ∆1: x = 3 , tiệm cận ngang ∆2: y = 3 và tâm đối xứng I(3; 3)

Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 – 3| và d2 = d(M; ∆2) =

Theo giả thiết

Vậy M (7; 5) ⇒ IM =

Bài tập 4. Cho hàm số

có đồ thị (H). Gọi M(x0; y0) với x0 < 0 là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Giá trị của biểu thức S = (x0 + y0)2 bằng

A 4

B 0

C 9

D 1

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đồ thị (H) có tiệm cận ∆1: x = -1 , tiệm cận ngang ∆2: y = 4

Gọi

, x0 ≠ -1, x0 < 0

Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 + 1| và d2 = d(M; ∆2) =

⇒ d1․d2 = 9

Ta có

nên min(d1 + d2) = 6 khi

Do x0 < 0 nên M(-4; 7) ⇒ S = 9

Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Giả sử đồ thị hàm số

có đồ thị (C) có các đường tiệm cận là

Gọi

là điểm bất kỳ trên đồ thị

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M là

Gọi A = d ∩ ∆1

B = d ∩ ∆2

Do đó

là một số không đổi

Do △IAB vuông tại I nên

là một số không đổi

Ngoài ra, ta có

nên M luôn là trung điểm của AB.

Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau

Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB.

Câu 2: Tìm điểm M ∈ (C) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có

Cạnh huyền nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Chu vi nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB

Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì α = (d; ∆2) = (d; Ox) = 45° nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 45° = ±1.

Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = -1.

Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số

có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng

A 4

B

C

D 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

Áp dụng công thức, ta có

Bài tập 2. Cho hàm số

(C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C). Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C) đạt giá trị lớn nhất bằng

A

B 1

C

D

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ (C) bất kỳ với hai đường tiệm cận.

Khi đó ta có

Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có

Vậy IHmax =

Bài tập 3. Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận (C). Biết tiếp tuyến ∆ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi ∆ và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?

A (28; 29)

B (29; 30)

C (27; 28)

D (26; 27)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ±1.

Do y’ < 0, ∀ x nên k = -1.

Xét phương trình

Với

⇒ Tiếp tuyến ∆1:

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm

Với

⇒ Tiếp tuyến ∆1:

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm

Bài tập 4. Cho hàm số

, gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2. Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A(x1; y1) và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B(x2; y2). Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằng

A 4

B 9

C 0

D 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện m – 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆: x = -2 và tiệm cận ngang ∆’: y = 1

Ta có

Phương trình đường thẳng d là

Do đó x2 + y1 = -5

Vậy S = (-3)2 + 12 = 10