Công thức lũy thừa: Tổng hợp công thức chi tiết Update 11/2021

Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho a ∈ ℝ, n ∈ ℕ* . Khi đó:

2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho a ≠ 0, n ∈ ℕ* , quy ước:

Chú ý:

00 và 0-n không có nghĩa

Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé. Chẳng hạn: Khối lượng của Trái Đất là 5,97.1024 kg; khối lượng nguyên tử của hiđrô là 1,66.10-24 kg .

3. Căn bậc n

Khái niệm

Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b

Khi n lẻ và b ∈ ℝ: Tồn tại duy nhất căn bậc n của b , kí hiệu

Khi n chẵn:

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b

b = 0: Có một căn bậc n của b , kí hiệu

b > 0: Có hai căn bậc n của b trái dấu, kí hiệu giá trị dương là

, còn giá trị âm là

Tính chất của căn bậc n

Với hai số không âm a, b; hai số nguyên dương m, n ta có:

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ

, trong đó m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ và (rn) là một dãy số hữu tỉ sao cho

Khi đó:

Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

Bài tập vận dụng công thức lũy thừa

Dạng 1. Tính các giá trị của một biểu thức – Rút gọn biểu thức.

Bài 1. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 3. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 4. Tính các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 5. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 6. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 7. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức – So sánh giá trị của biểu thức

Chú ý:

Nếu a > 1 thì α < β ⇔ aα < aβ

Nếu 0 < a < 1 thì α < β ⇔ aα > aβ

Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Do 12 < 18 nên

Vì cơ số a = 5 > 1 nên

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải

a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:

Do 100000 > 8000 nên

b) Ta có

Do 125 < 2401 nên

c) Ta có

Do 371293 > 279841 nên

d) Ta có

Bài 3. Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Do 8 < 9 nên

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

Bài 4. Không dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:

Hướng dẫn giải

a)

Cách 1. Ta có:

.

Tương tự:

Suy ra:

Cách 2. Đặt

. Ta cần chứng minh x = 2

Ta có:

Từ đó ta có: x3 + 3x – 14 = 0 ⇔ (x – 2)(x2 + 2x + 7) = 0 ⇔ x = 2 (vì x2 + 2x +7 > 0)

Cách 3. Ta có:

. Do đó nếu là nghiệm của phương trình X2 – 2X – 1 = 0, tức là:

Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có:

. Từ đó suy ra (1).

Đẳng thức (2) chứng minh tương tự. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

b)

Đặt

. Ta cần chứng minh x = 3

Ta có:

⇔ x3 – 5x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x2 + 3x + 4) = 0 ⇔ x = 3 (vì x2 + 3x + 4 > 0)

c)

Cách 1. Ta có:

nên

Cách 2. Ta có:

Nên

d)

Có thể giải bằng ba cách như câu a)

Đặt H68. Ta cần chứng minh x = 3

Ta có:

⇔ x3 – 3x – 18 = 0

⇔ (x – 3)(x2 + 3x + 6) = 0 ⇔ x = 3 (vì x2 + 3x + 6 > 0)

Bài tập tự luyện

Bài 1. Hãy tính:

Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 5. So sánh các số:

Bài 6. Chứng minh rằng:

Bài 7. Rút gọn các biểu thức sau:

Kết quả:

Bài 1

Bài 2

Bài 4

Bài 5

Bài 7